Apa yang dimaksud dengan fungsi logaritma

         Blog Koma - Fungsi Logaritma adalah suatu fungsi yang memuat bentuk logaritma. Selain bisa menentukan nilai fungsi logaritmanya, juga bisa menggambar grafik fungsi logaritmanya. Terkadang juga ada soal yang melibatkan nilai maksimum atau nilai minimum suatu bentuk fungsi logaritma.

         Fungsi Logaritma bentuk $ f(x) = {}^a \, \log g(x) \, $ memiliki karakteristik salah satunya berdasarkan nilai basisnya $ (a) $, yaitu naik atau turunnya bentuk grafik fungsi kuadratnya. Fungsi logaritma yang dipelajari pada artikel ini adalah fungsi kuadrat yang bentuknya sederhana saja khususnya yang akan digambar grafiknya. Namun fungsi kuadrat yang ada kaitannya dengan nilai maksimum atau minimum fungsi kuadrat tersebut, fungsi yang kita bahas lebih kompleks lagi. Bentuk numerus pada fungsi logarimta juga bisa dikaitkan dengan bentuk fungsi kuadrat, sehingga kita harus mengingat kembali nilai maksimum dan minimum fungsi kuadrat.

Adapun bentuk umum fungsi logaritma sederhana :

                                    $ f(x) = {}^a \log x $
dengan $ a > 0 , \, a \neq 1, \, $ dan $ x > 0 \, $ serta $ x \, $ adalah variabel bebasnya.


Grafik fungsi logaritma

         Bentuk grafik fungsi logaritma $ f(x) = {}^a \log x \, $ bergantung dari nilai basisnya (bilangan pokok). Jika $ a > 1 , \, $ maka grafiknya naik , dan jika $ 0 < a < 1 , \, $ maka grafiknya turun. Untuk lebih jelasnya, perhatikan grafiknya berikut.

Contoh 1.

Gambarlah grafik fungsi logaritma $ f(x) = {}^2 \log x $ ?

Penyelesaian : nilai $ a = 2 , \, $ sehingga grafiknya naik

Contoh 2.

Gambarlah grafik fungsi logaritma $ f(x) = {}^\frac{1}{3} \log x $ ?

Penyelesaian : nilai $ a = \frac{1}{3} , \, $ sehingga grafiknya turun


Nilai Maksimum atau Minimum fungsi logaritma

         Nilai Maksimum atau minimum fungsi logaritma $ f(x) = {}^a \log g(x) \, $ dengan $ g(x) > 0 , \, $ dapat ditentukan berdasarkan nilai basisnya $(a)$ :

*). Untuk $ a > 1 $          Nilai maksimum $ f(x) \, $ diperoleh ketika nilai $ g(x) \, $ maksimum          Nilai minimum $ f(x) \, $ diperoleh ketika nilai $ g(x) \, $ minimum *). Untuk $ 0 < a < 1 $          Nilai maksimum $ f(x) \, $ diperoleh ketika nilai $ g(x) \, $ minimum

         Nilai minimum $ f(x) \, $ diperoleh ketika nilai $ g(x) \, $ maksimum

         Untuk lebih jelasnya, yuk kita perhatikan contoh berikut ini.

Contoh 3.

Tentukan nilai minimum dari fungsi $ f(x) = {}^2 \log (x^2 - 2x + 9 ) \, $ ?

Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ Nilai basisnya ($ a = 2 $) lebih dari 1, sehingga $ f(x) \, $ minimum ketika nilai $ g(x) = x^2 - 2x + 9 \, $ juga minimum. Karena bentuk $ g(x) = x^2 - 2x + 9 \, $ adalah fungsi kuadrat, maka nilai minimum $ g(x) = x^2 - 2x + 9 \, $ diperoleh ketika $ x = \frac{-b}{2a} , \, $ yaitu : $ x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2.1} = 1 $ artinya bentuk $ g(x) = x^2 - 2x + 9 \, $ minimum pada saat $ x = 1 \, $ yang mengakibatkan nilai fungsi $ f(x) \, $ juga minimum. $\spadesuit \, $ Menentukan nilai minimum fungsi logaritmanya Substitusi nilai $ x = 1 \, $ ke $ f(x) \, $ : $\begin{align} f(x) & = {}^2 \log (x^2 - 2x + 9 ) \\ f_\text{minimum} & = f(1) = {}^2 \log (1^2 - 2.1 + 9 ) \\ & = {}^2 \log (8) \\ & = {}^2 \log (2^3) \\ f_\text{minimum} & = 3.{}^2 \log 2 = 3.1 = 3 \end{align} $

Jadi, nilai minimum fungsi $ f(x) = {}^2 \log (x^2 - 2x + 9 ) \, $ adalah 3 . $ \heartsuit $

Contoh 4.

Tentukan nilai maksimum dari fungsi $ f(x) = {}^\frac{1}{3} \log \left( (x+3)^2 + 1 \right) \, $ ?

Penyelesaian : $\clubsuit \,$ Nilai basisnya ($ a = \frac{1}{3} $) kurang dari 1, sehingga $ f(x) \, $ maksimum ketika nilai $ g(x) = \left( (x+3)^2 + 1 \right) \, $ minimum. Nilai minimum dari $ g(x) = \left( (x+3)^2 + 1 \right) \, $ diperoleh ketika $ x = -3 $ $\clubsuit \,$ Menentukan nilai maksimum fungsi logaritmanya Substitusi nilai $ x = -3 \, $ ke $ f(x) \, $ : $\begin{align} f(x) & = {}^\frac{1}{3} \log \left( (x+3)^2 + 1 \right) \\ f_\text{maksimum} & = f(-3) = {}^\frac{1}{3} \log \left( (-3+3)^2 + 1 \right) \\ & = {}^\frac{1}{3} \log 1 \\ f_\text{maksimum} & = 0 \end{align} $

Jadi, nilai maksimum fungsi $ f(x) = {}^\frac{1}{3} \log \left( (x+3)^2 + 1 \right) \, $ adalah 0 . $ \heartsuit $


         Bagaimana dengan artikel fungsi kuadrat pada artikel ini? Mudah-mudahan bisa membantu dalam mempelajari fungsi logaritma. Untuk tipe soal ujian nasional, soal yang sering keluar yang berkaitan dengan fungsi logaritma adalah bentuk grafiknya baik grafik fungsi aslinya atau grafik inversnya. Dengan latihan soal-soal yang banyak, pasti teman-teman akan bisa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan fungsi kuadrat atau grafiknya.

Fungsi logaritma natural adalah fungsi logaritma dengan basis nya adalah bilangan e yang merupakan bilangan irrasional atau tak rasional.

Oleh Tju Ji Long · Statistisi

Hub. WA: 0812-5632-4552

Dari pelajaran aljabar kita tahu bahwa sebuah logaritma adalah sebuah eksponen. Lebih tepatnya, jika \(b > 0\) dan \(b≠1\), maka untuk nilai positif \(x\), ekspresi

(dibaca “logaritma dengan basis \(b\) dari \(x\)”) menunjukkan bahwa eksponen di mana \(b\) harus ditingkatkan untuk menghasilkan \(x\). Dengan demikian, misalnya,

Kita sebut fungsi \(f(x)=\log_b⁡ x \) sebagai fungsi logaritma dengan basis \(b\).

Fungsi logaritma juga bisa dipandang sebagai invers fungsi eksponensial. Untuk melihat kenapa bisa demikian, amatilah Gambar 1 bahwa jika \(b > 0\) dan \(b≠1\), maka grafik \(f(x)=b^x\) melewati uji garis horisontal, sehingga \(b^x\) mempunyai sebuah invers. Kita bisa mencari sebuah formula untuk invers ini dengan \(x\) sebagai independent variabel dengan menyelesaikan persamaan

untuk \(y\) sebagai fungsi dari \(x\). Tetapi persamaan ini menyatakan bahwa \(y\) merupakan logaritma dengan basis \(b\) dari \(x\), sehingga bisa dituliskan sebagai


Gambar 1

Dengan demikian, kita telah membangun hasil berikut

Teorema:

Jika \(b > 0\) dan \(b≠1\), maka \(b^x\) dan \(\log_b⁡x\) adalah fungsi invers

Dari teorema ini maka grafik \(y=b^x\) dan \(y=\log_b⁡x\) merupakan cerminan dari satu sama lain terhadap garis \(y = x\) (lihat Gambar 1 untuk kasus di mana \(b > 1\)).

Gambar 2 menunjukkan grafik \(y=\log_b⁡x\) untuk berbagai nilai \(b\). Amatilah bahwa mereka semua melewati titik (1,0).

Gambar 2

Sifat-sifat Aljabar Logaritma

Jika \(b>0, b≠1, a>0, c>0\), dan \(r\) adalah bilangan riil, maka

Untuk bilangan positif \(a\), nilai fungsi \(f(x)=a^x\) mudah ditentukan ketika \(x\) adalah bilangan bulat atau bilangan rasional. Ketika \(x\) tidak rasional, makna \(a^x\) tidak begitu jelas. Demikian pula, definisi logaritma \(\log_a⁡x\), fungsi invers dari \(f(x)=a^x\), tidak sepenuhnya jelas.

Sekarang kita akan berkenalan dengan logaritma dengan basis nya adalah bilangan \(e\) yang merupakan bilangan irrasional atau tak rasional. Ini disebut logaritma natural karena fungsi \(\log_e⁡x\) merupakan invers dari fungsi eksponensial natural \(e^x\). Penulisan standar untuk logaritma natural adalah dengan \(\ln x\). Misalnya,

Secara umum,

Fungsi logaritma natural \(f(x)=\ln ⁡x\) adalah fungsi yang menaik (increasing function) dan grafiknya cekung ke bawah (concave down). Selain itu, fungsi logaritma natural adalah fungsi yang kontinu. Perhatikan Gambar 3 di bawah ini.

Gambar 3. Grafik fungsi logaritma

Daerah asal (domain) \(\ln x\) terdiri dari himpunan semua bilangan riil positif, sehingga grafik \(y = \ln x\) terletak di sebelah kanan setengah bidang.

Sifat-Sifat Fungsi Logaritma Natural

Sifat-Sifat Logaritma Natural

Untuk setiap bilangan \(a > 0\) dan \(x > 0\), logaritma natural memenuhi aturan berikut:

Cukup sekian penjelasan tentang fungsi logaritma dan logaritma natural dalam artikel ini. Semoga bermanfaat.

Sumber:

Anton, Howard., et al. (2012). Calculus, 10th ed. Hoboken: John Wiley & Sons, Inc.