Latihan Materi Aljabar Untuk x2 + 3x + 3 = 0 Disk = 32 4(1)(3) = 3 < 0 Tidak ada akar real yang memenuhi Untuk x2 x 1 = 0 1 ± √ 12 −4 ( 1 ) (−1 ) x 1,2= 2 1 1 1 1 x= + √ 5 atau x= − √5 2 2 2 2 Maka nilai x yang memenuhi persamaan 1 1 x= + √ 5 2 2 x2 x+ =3 ( x +1 )2 2 adalah 1 1 x= − √5 2 2 atau 2. Tentukan semua bilangan real x yang memenuhi x4 4x3 + 5x2 4x + 1=0 Solusi : x4 4x3 + 5x2 4x + 1 = 0 (x4 4x3 + 6x2 4x + 1) x2 = 0 ((x 1)2)2 x2 = 0 Mengingat a2 b2 = (a b)(a + b) maka : (x2 2x + 1 x)(x2 2x + 1 + x) = 0 (x2 3x + 1)(x2 x + 1) = 0 Karena (1)2 4(1)(1) < 0 maka tidak ada x real yang memenuhi x 2 x + 1 = 0. 3± √ 32−4 ( 1 ) (1 ) x 1,2= 2 Untuk x2 3x + 1 = 0 dipenuhi oleh x 1,2= sehingga 3± √ 5 2 Maka nilai x real yang memenuhi adalah 3 3 3. Jika x=√ 4 + √ 2+1 , maka nilai dari Solusi : Misalkan y=√3 2 maka x = y2 + y + 1 3 1 1 1+ = 1+ 2 x y + y +1 ( ) ( 3 ) x= 3+ √ 5 2 ( 1+ X1 ) atau 3 adalah x= 3−√ 5 . 2 Mengingat (y 1)(y2 + y + 1) = y3 1 dengan y 1 0 maka 3 1 y−1 1+ = 1+ 3 x y −1 ( ) ( 3 ) Karena y3 1 = 2 1 = 1 maka 3 1 3 = y =2 x 1 3 1+ =2 . x ( ) 1+ ( ) 4. Tiga buah bilangan merupakan barisan aritmatika. Bila suku tengahnya dikurangi 5, maka terbentuk suatu barisan geometri dengan rasio sama dengan 2. Jumlah barisan aritmatika itu adalah Solusi : Misalkan ketiga bilangan yang membentuk barisan aritmatika tersebut adalah a b, a dan a + b. a b, a 5 dan a + b merupakan barisan geometri dengan rasio 2. (a 5)2 = (a b)(a + b) a2 10a + 25 = a2 b2 10a = b2 + 25 (1) Karena rasio barisan geometri tersebut sama dengan 2 maka a 5 = 2(a b) a = 2b 5 (2) 20b 50 = b2 + 25 (b 5)(b 15) = 0 b = 5 atau b = 15 Jika b = 5 maka a = 5 sehingga barisan tersebut adalah 0, 0, 10 yang tidak memenuhi. Jika b = 15 maka a = 25 sehingga barisan tersebut adalah 10, 25, 40 yang memenuhi. Jadi, jumlah ketiga barisan tersebut adalah 10 + 25 + 40 = 75 5. Diketahui 0 < a < b < c < d adalah bilangan bulat yang memenuhi a, b, c membentuk barisan aritmatika sedangkan b, c, d membentuk barisan geometri. Jika d a = 30 maka tentukan nilai dari a + b + c + d. Solusi : Karena a, b, c membentuk barisan aritmatika maka b = a + k dan c = a + 2k untuk suatu nilai k. Karena 0 < a < b < c < d serta a, b, c, d N maka k N. Karena b, c, d membentuk barisan geometri dan b = a + k serta c = a + 2k maka d = cr = ( a+2 k )2 . a+k d a = 30 ( a+2 k )2 a+k a = 30 (a + 2k)2 a(a + k) = 30(a + k) 4k2 = 30a + 30k 3ak 2k(2k 15) = 3a(10 k) Karena a dan k positif maka haruslah 2k 15 < 0 dan 10 k < 0 atau 2k 15 > 0 dan 10 k > 0 Jika 2k 15 < 0 dan 10 k < 0 maka k < terpenuhi. Jika 2k 15 > 0 dan 10 k > 0 maka 15 2 15 2 dan k > 10 yang tidak mungkin < k < 10 (1) Karena 4k2 = 30a + 30k 3ak maka 4k2 = 3(10a + 10k ak) Karena k bulat maka haruslah k merupakan bilangan kelipatan 3 (2) Dari (1) dan (2) didapat nilai k yang mungkin hanyalah k = 9 sehingga a = 18. Jadi, a = 18, b = 27, c = 36 dan d = 48. Maka a + b + c + d = 129 6. Jika f(xy) = f(x + y) dan f(7) = 7, maka f(49) = Solusi : f(xy) = f(x + y) Jika x = n dan y = 1 maka f(n) = f(n + 1) Maka f(49 ) = f(48) = f(47) = f(46) = = f(7) Karena f(7) = 7 maka f(49) = 7 7. Misalkan f adalah fungsi untuk semua bilangan bulat x dan y yang memenuhi f(x + y) = f(x) + f(y) + 6xy + 1 dan f(x) = f(x). Nilai dari f(3) sama dengan Solusi : f(x + y) = f(x) + f(y) + 6xy + 1 dan f(x) = f(x) untuk x dan y bulat. Jika x = y = 0 maka f(0) = f(0) + f(0) + 1 sehingga f(0) = 1 Jika x = 3 dan y = 3 maka f(0) = f(3) + f(3) 54 + 1 Karena f(3) = f(3) maka 1 = 2f(3) 53 f(3) = 26 8. Suku banyak f(x) dibagi sisanya 7. Sedangkan suku bersisa 3 dan jika dibagi (x g(x). Jika h(x) dibagi x2 2x Solusi : (x + 1) sisanya 2 dan dibagi (x 3) banyak g(x) jika dibagi (x + 1) akan 3) akan bersisa 2. Diketahui h(x) = f(x) 3, maka sisanya adalah f(1) = 2 dan f(3) = 7. g(1) = 3 dan g(3) = 2 h(x) = f(x) g(x) h(1) = (2)(3) = 6 dan h(3) = (7)(2) = 14. h(x) = (x + 1)(x 3) k(x) + ax + b Untuk x = 1 maka h(1) = a + b = 6 (1) Untuk x = 3 maka h() = 3a + b = 14 (2) Dari persamaan (1) dan (2) didapat a = 5 dan b = 1 Jadi, sisa jika h(x) dibagi x2 2x 3 adalah 5x 1 9. Tentukan semua nilai m sehingga persamaan x 4 (3m + 2)x2 + m2 = 0 memiliki 4 akar real yang membentuk barisan aritmatika. Solusi : Misalkan keempat akar x4 (3m + 2)x2 + m2 = 0 adalah a b, a, a + b dan a + 2b (a b) + (a) + (a + b) + (a + 2b) = 0 b = 2a maka keempat akar tersebut adalah 3a, a, a dan 3a. m2 = (3a)(a)(a)(3a) = 9a4 Jadi, m = ± 3a2 (3a)(a) + (3a)(a) + (3a)(3a) + (a)(a) + (a)(3a) + (a)(3a) = (3m + 2) (3 3 9 1 3 + 3)a2 = 3m 2 10a2 = 3m 2 30a2 = 9m + 6 ±10m = 9m + 6 m= −6 19 atau m=6 10. Jika suku pertama deret geometri tak hingga adalah 2 dan rasionya β m adalah r = α = m untuk nilai m > 0 dan , akar-akar x2 (3m + 2)x + (4m + 12) = 0, maka jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah Solusi : x2 (3m + 2) + (4m + 12) = 0 memiliki akar-akar dan maka + = 3m + 2 = 4m + 12 m β = α m m2 = m2 = 4m + 12 (m 6)(m + 2) = 0 Maka m = 6. Persamaan kuadrat tersebut adalah x 2 20x + 36 = 0 yang memiliki akar-akar 2 dan 18. Karena syarat barisan tak hingga adalah 1 < r < 1 maka = 18 dan = 2. Jadi, r= 6 1 = 18 3 2 Karena a = 2 maka jumlah deret tak hingga tersebut adalah 1− 1 3 = 3. Jumlah deret tak hingga tersebut adalah 3 11. Diberikan persamaan 2 2 3 x −3 x +2 +3 x −3 x =10 . Jika x1 dan x2 adalah x1+ x2 =⋯⋯ penyelesaiannya, maka 3 Solusi : 3 x −3 x+2+ 3x −3 x =10 memiliki penyelesaian x1 dan x2. Misalkan y = 3 x −3 x maka 2 2 2 9y + y = 10 sehingga y = 1 Maka x2 3x = 0 sehingga nilai x yang memenuhi adalah 0 dan 3. 3 x 1+ x 2 = 33 = 27. 12. Jika x+ x + y = 10 dan x + y y = 12, maka x + y = Solusi : x + x + y = 10 dan x + y y = 12 Jika x dan y di kuadran I maka x = x dan y = y 2x + y = 10 dan x = 12 sehingga y = 14 (tidak memenuhi (x, y) di kuadran I) Jika x dan y di kuadran II maka x = x dan y = y y = 10 dan x = 12 (tidak memenuhi (x, y) di kuadran II) Jika x dan y di kuadran III maka x = x dan y = y y = 10 dan x 2y = 12 sehingga x = 32 (tidak memenuhi (x, y) di kuadran III) Jika x dan y di kuadran IV maka x = x dan y = y 2x + y = 10 dan x 2y = 12 * * * * IV) Nilai (x, y) yang memenuhi adalah ( 32 5 x+y= 14 5 = 32 5 14 −5 , ) (memenuhi (x, y) di kuadran 18 5 13. Tentukan bilangan bulat terbesar n sehingga terdapat bilangan bulat unik k yang memenuhi Solusi : 8 n 7 < < 15 n+k 13 8 n 15 < n+k 8n + 8k < 15n sehingga k < n n+k 7n 8 7 13 < 13n < 7n + 7k sehingga k > Maka 8 15 6n 7 |
