Jika akar- akar persamaan x4- (3m + 2)x + m2 = 0 membentuk barisan aritmatika, maka nilai m

Latihan Materi Aljabar
x2

1. Selesaikan persamaan x2 +
Solusi :
x2
x 2+
=3
( x +1 )2

( x+1 )

2

= 3.

x2 (x + 1)2 + x2 = 3(x + 1)2
x4 + 2x3 + x2 + x2 = 3x2 + 6x + 3
x4 + 2x3  x2  6x  3 = 0
(x2  x  1) (x2 + 3x + 3) = 0
x2 + 3x + 3 = 0 atau x2  x  1 = 0


 Untuk x2 + 3x + 3 = 0
Disk = 32  4(1)(3) = 3 < 0
Tidak ada akar real yang memenuhi
 Untuk x2  x  1 = 0

1 ± √ 12 −4 ( 1 ) (−1 )
x 1,2=
2
1 1
1 1
x= + √ 5 atau x= − √5
2 2
2 2


Maka nilai x yang memenuhi persamaan

1 1
x= + √ 5
2 2



x2
x+
=3
( x +1 )2
2

adalah

1 1
x= − √5
2 2

atau

2. Tentukan semua bilangan real x yang memenuhi x4  4x3 + 5x2  4x +
1=0
Solusi :
x4  4x3 + 5x2  4x + 1 = 0
(x4  4x3 + 6x2  4x + 1)  x2 = 0


((x  1)2)2  x2 = 0
Mengingat a2  b2 = (a  b)(a + b) maka :
(x2  2x + 1  x)(x2  2x + 1 + x) = 0
(x2  3x + 1)(x2  x + 1) = 0
Karena (1)2  4(1)(1) < 0 maka tidak ada x real yang memenuhi x 2  x + 1 = 0.

3± √ 32−4 ( 1 ) (1 )
x 1,2=
2

Untuk x2  3x + 1 = 0 dipenuhi oleh

x 1,2=

sehingga

3± √ 5
2

 Maka nilai x real yang memenuhi adalah


3

3

3. Jika x=√ 4 + √ 2+1 , maka nilai dari
Solusi :
Misalkan
y=√3 2 maka x = y2 + y + 1
3

1
1
1+ = 1+ 2
x
y + y +1

( ) (

3


)

x=

3+ √ 5
2

( 1+ X1 )

atau

3

adalah 

x=

3−√ 5
.
2



Mengingat (y  1)(y2 + y + 1) = y3  1 dengan y  1  0 maka
3

1
y−1
1+ = 1+ 3
x
y −1

( ) (

3

)

Karena y3  1 = 2  1 = 1 maka
3

1


3
= y =2
x
1 3
1+ =2 .
x

( )
1+



( )

4. Tiga buah bilangan merupakan barisan aritmatika. Bila suku
tengahnya dikurangi 5, maka terbentuk suatu barisan geometri
dengan rasio sama dengan 2. Jumlah barisan aritmatika itu adalah 
Solusi :

Misalkan ketiga bilangan yang membentuk barisan aritmatika tersebut adalah a  b, a


dan a + b.
a  b, a  5 dan a + b merupakan barisan geometri dengan rasio 2.
(a  5)2 = (a  b)(a + b)
a2  10a + 25 = a2  b2
10a = b2 + 25  (1)
Karena rasio barisan geometri tersebut sama dengan 2 maka
a  5 = 2(a  b)
a = 2b  5  (2)
20b  50 = b2 + 25
(b  5)(b  15) = 0
b = 5 atau b = 15
Jika b = 5 maka a = 5 sehingga barisan tersebut adalah 0, 0, 10 yang tidak
memenuhi.
Jika b = 15 maka a = 25 sehingga barisan tersebut adalah 10, 25, 40 yang
memenuhi.
 Jadi, jumlah ketiga barisan tersebut adalah 10 + 25 + 40 = 75

5. Diketahui 0 < a < b < c < d adalah bilangan bulat yang memenuhi a,
b, c membentuk barisan aritmatika sedangkan b, c, d membentuk
barisan geometri. Jika d  a = 30 maka tentukan nilai dari a + b + c +


d.
Solusi :
Karena a, b, c membentuk barisan aritmatika maka b = a + k dan c = a + 2k untuk
suatu nilai k.
Karena 0 < a < b < c < d serta a, b, c, d  N maka k  N.
Karena b, c, d membentuk barisan geometri dan b = a + k serta c = a + 2k maka d =
cr =

( a+2 k )2
.
a+k

d  a = 30

( a+2 k )2
a+k

 a = 30

(a + 2k)2  a(a + k) = 30(a + k)


4k2 = 30a + 30k  3ak
2k(2k  15) = 3a(10  k)
Karena a dan k positif maka haruslah 2k  15 < 0 dan 10  k < 0 atau 2k  15 > 0 dan
10  k > 0

Jika 2k  15 < 0 dan 10  k < 0 maka k <
terpenuhi.
Jika 2k  15 > 0 dan 10  k > 0 maka

15
2

15
2

dan k > 10 yang tidak mungkin

< k < 10  (1)

Karena 4k2 = 30a + 30k  3ak maka 4k2 = 3(10a + 10k  ak)


Karena k bulat maka haruslah k merupakan bilangan kelipatan 3  (2)
Dari (1) dan (2) didapat nilai k yang mungkin hanyalah k = 9 sehingga a = 18.
Jadi, a = 18, b = 27, c = 36 dan d = 48.
 Maka a + b + c + d = 129

6. Jika f(xy) = f(x + y) dan f(7) = 7, maka f(49) = 
Solusi :
f(xy) = f(x + y)

Jika x = n dan y = 1 maka f(n) = f(n + 1)
Maka f(49 ) = f(48) = f(47) = f(46) =  = f(7)
Karena f(7) = 7 maka


f(49) = 7

7. Misalkan f adalah fungsi untuk semua bilangan bulat x dan y yang
memenuhi f(x + y) = f(x) + f(y) + 6xy + 1 dan f(x) = f(x). Nilai dari
f(3) sama dengan 
Solusi :
f(x + y) = f(x) + f(y) + 6xy + 1 dan f(x) = f(x) untuk x dan y bulat.
Jika x = y = 0 maka f(0) = f(0) + f(0) + 1 sehingga f(0) = 1
Jika x = 3 dan y = 3 maka f(0) = f(3) + f(3)  54 + 1
Karena f(3) = f(3) maka
1 = 2f(3)  53
 f(3) = 26

8.

Suku banyak f(x) dibagi
sisanya 7. Sedangkan suku
bersisa 3 dan jika dibagi (x 
g(x). Jika h(x) dibagi x2  2x 
Solusi :

(x + 1) sisanya 2 dan dibagi (x  3)
banyak g(x) jika dibagi (x + 1) akan
3) akan bersisa 2. Diketahui h(x) = f(x) 
3, maka sisanya adalah 

f(1) = 2 dan f(3) = 7.
g(1) = 3 dan g(3) = 2
h(x) = f(x)  g(x)
h(1) = (2)(3) = 6 dan h(3) = (7)(2) = 14.
h(x) = (x + 1)(x  3)  k(x) + ax + b
Untuk x = 1 maka h(1) = a + b = 6  (1)
Untuk x = 3 maka h() = 3a + b = 14  (2)
Dari persamaan (1) dan (2) didapat a = 5 dan b = 1
 Jadi, sisa jika h(x) dibagi x2  2x  3 adalah 5x  1

9.

Tentukan semua nilai m sehingga persamaan x 4  (3m + 2)x2 + m2
= 0 memiliki 4 akar real yang membentuk barisan aritmatika.
Solusi :

Misalkan keempat akar x4  (3m + 2)x2 + m2 = 0 adalah a  b, a, a + b dan a + 2b
(a  b) + (a) + (a + b) + (a + 2b) = 0
b =  2a maka keempat akar tersebut adalah 3a, a, a dan 3a.
m2 = (3a)(a)(a)(3a) = 9a4
Jadi, m = ± 3a2
(3a)(a) + (3a)(a) + (3a)(3a) + (a)(a) + (a)(3a) + (a)(3a) = (3m + 2)
(3  3  9  1  3 + 3)a2 = 3m  2
10a2 = 3m  2
30a2 = 9m + 6
±10m = 9m + 6

m=



−6
19

atau

m=6

10. Jika suku pertama deret geometri tak hingga adalah 2 dan rasionya
β

m

adalah r = α = m untuk nilai m > 0 dan ,  akar-akar x2  (3m +
2)x + (4m + 12) = 0, maka jumlah deret geometri tak hingga tersebut
adalah 
Solusi :

x2  (3m + 2) + (4m + 12) = 0 memiliki akar-akar  dan  maka
 +  = 3m + 2
 = 4m + 12

m β
=
α m

m2 = 
m2 = 4m + 12
(m  6)(m + 2) = 0
Maka m = 6.
Persamaan kuadrat tersebut adalah x 2  20x + 36 = 0 yang memiliki akar-akar 2 dan
18.
Karena syarat barisan tak hingga adalah 1 < r < 1 maka  = 18 dan  = 2.
Jadi,

r=

6 1
=
18 3

2
Karena a = 2 maka jumlah deret tak hingga tersebut adalah

1−

1
3

= 3.

 Jumlah deret tak hingga tersebut adalah 3

11.

Diberikan persamaan

2

2

3 x −3 x +2 +3 x −3 x =10 . Jika x1 dan x2 adalah

x1+ x2

=⋯⋯
penyelesaiannya, maka 3
Solusi :
3 x −3 x+2+ 3x −3 x =10 memiliki penyelesaian x1 dan x2.
Misalkan y = 3 x −3 x maka
2

2

2

9y + y = 10 sehingga y = 1
Maka x2  3x = 0 sehingga nilai x yang memenuhi adalah 0 dan 3.


3

x 1+ x 2

= 33 = 27.

12. Jika x+ x + y = 10 dan x + y  y = 12, maka x + y = 
Solusi :
x + x + y = 10 dan x + y  y = 12

Jika x dan y di kuadran I maka x = x dan y = y
2x + y = 10 dan x = 12 sehingga y = 14 (tidak memenuhi (x, y) di kuadran I)
Jika x dan y di kuadran II maka x = x dan y = y
y = 10 dan x = 12 (tidak memenuhi (x, y) di kuadran II)
Jika x dan y di kuadran III maka x = x dan y = y
y = 10 dan x  2y = 12 sehingga x = 32 (tidak memenuhi (x, y) di kuadran III)
Jika x dan y di kuadran IV maka x = x dan y = y
2x + y = 10 dan x  2y = 12

*
*
*
*

IV)

Nilai (x, y) yang memenuhi adalah (
32
5

 x+y=



14
5

=

32
5

14

−5

,

)

(memenuhi (x, y) di kuadran

18
5

13. Tentukan bilangan bulat terbesar n sehingga terdapat bilangan bulat
unik k yang memenuhi
Solusi :
8
n
7
<
<
15 n+k 13
8
n
15
< n+k

8n + 8k < 15n sehingga k <
n
n+k

7n
8

7
13

<

13n < 7n + 7k sehingga k >
Maka

8
15

6n
7